Question

求數(shù)列a，2a²，3a³，4a⁴，…，naⁿ，…（a為常數(shù)，且a≠1，a≠0）的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：數(shù)列{naⁿ}是由數(shù)列{n}與{aⁿ}對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，但要注意應(yīng)按以三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況即可求解．

解答： 解：a為常數(shù)，且a≠1，a≠0，
S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ，
∴aS_n=a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹，
∴（1-a） S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a-an+1

1-a

-naⁿ⁺¹．
∴S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

（a≠1）．
數(shù)列a，2a²，3a³，4a⁴，…，naⁿ，…（a為常數(shù)，且a≠1，a≠0）的前n項(xiàng)和S_n為：

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

（a≠1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和，錯(cuò)位相減適合等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列，（課本中的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意本題中含有參數(shù)時(shí)，要分類討論．