Question

（本題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓的左頂點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點．若直線斜率為時，．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）試問以為直徑的圓是否經過定點（與直線的斜率無關）？請證明你的結論．

Answer 1

（1）（2）過定點．

【解析】

試題分析：（1）因為離心率為，所以要確定橢圓標準方程，只需再確定一個獨立條件，即點P坐標：根據點斜率為且可求，所以，又，解得橢圓的標準方程為．

（2）用點P坐標表示出的坐標及以為直徑的圓的方程：設，則直線方程為： ，∴ ，直線方程為： ，∴，以為直徑的圓為，利用化簡得，所以動圓必過與的交點

試題解析：【解析】
（1）設，

∵直線斜率為時，，∴，∴ ３分

∴，∵，∴．

∴橢圓的標準方程為． ６分

（2）以為直徑的圓過定點．

設，則，且，即，

∵，∴直線方程為： ，∴ ，

直線方程為： ，∴， ９分

以為直徑的圓為

即， 12分

∵，∴，

令，，解得，

∴以為直徑的圓過定點． 16分

考點：直線與橢圓位置關系

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質 試題屬性

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