Question

已知：函數(shù)f（x）=log_a（3-ax）（a＞0且a≠1）
（1）若x∈[0，2]時(shí)，f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，且最大值為1？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)u（x）=3-ax，則由題意可得 u（x）是減函數(shù)，3-2a＞0，結(jié)合a＞0且a≠1，求得a的范圍．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，滿足題設(shè)條件，由f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減函數(shù)，且u（x）=3-ax是減函數(shù)，求得1＜a＜

3

2

．由已知f（1）=1求得a=

3

2

，根據(jù)

3

2

∉（1，

3

2

），可得這樣的實(shí)數(shù)a不存在．

解答： 解：（1）設(shè)u（x）=3-ax，∵a＞0且a≠1，∴u（x）是減函數(shù)．
又x∈[0，2]時(shí)，f（x）有意義，∴3-2a＞0，故有 0＜a＜

3

2

，且a≠1．
∴a的范圍是（0，1）∪（1，

3

2

）．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，滿足題設(shè)條件，∵f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減函數(shù)，
再根據(jù)u（x）=3-ax是減函數(shù)，可得a＞1，3-2a＞0，∴1＜a＜

3

2

．
由已知f（1）=1，即log_a（3-a）=1，∴a=

3

2

，∵

3

2

∉（1，

3

2

），
∴這樣的實(shí)數(shù)a不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．