Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意實數m、n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x＞0時，恒有f（x）＞1
（1）求證：f（x）在定義域R上是單調遞增函數；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a²+a-5）＜2．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）定義法：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁），由已知可判斷其符號；
（2）令m=n=1可求得f（2），進而可得f（1）=2，利用單調性可去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式．

解答： （1）證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1，
又f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數．
（2）解：∵m，n∈R，不妨設m=n=1，
∴f（1+1）=f（1）+f（1）-1，即f（2）=2f（1）-1，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=2f（1）-1+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2，
∴f（a²+a-5）＜2=f（1），
∵f（x）在R上為增函數，∴a²+a-5＜1，解得-3＜a＜2，
∴a∈（-3，2）．

點評：本題考查抽象函數單調性的判斷、抽象不等式的求解，考查轉化思想，抽象函數的單調性常用定義解決，抽象不等式的求解往往轉化為具體不等式處理．