Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-

a

2

．
（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個零點；
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，求x₁-x₂的范圍；
（3）求證：函數(shù)f（x）的零點x₁，x₂至少有一個在區(qū)間（0，2）內(nèi)．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的判別式，由判別式大于0恒成立得到函數(shù)f（x）有兩個零點．
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，將|x₁-x₂|變形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由題意知，式子無最大值．
（3）分c＞0時和c≤0兩種情況，判斷函數(shù)值在區(qū)間端點處的函數(shù)值的符號，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理得出結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，∴3a+2b+2c=0，
∴c=-

3

2

a-b．
∴f（x）=ax²+bx-

3

2

a-b，
△=b²-4a（-

3

2

a-b）=b²+6a²+4ab=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，故函數(shù)f（x）有兩個零點．
（2）若x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根．
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-

b

a

-

3

2

．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x₁x₂=(-

b

a

)2-4（-

b

a

-

3

2

）=(

b

a

+2)2+2≥2．
故x₁-x₂的范圍是（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．
（3）根據(jù)f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，由（I）知3a+2b+2c=0，∴f（2）=a-c．
（i）當(dāng)c＞0時，有f（0）＞0，又∵a＞0，
∴f（1）=-

a

2

＜0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個零點，
故在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．
（ii）當(dāng)c≤0時，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=a-c＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一零點，
綜合（i）（ii），可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點就是函數(shù)f（x）=0的根；零點的判定方法是，函數(shù)在區(qū)間
端點的函數(shù)值異號，屬于中檔題．