Question

如圖，F₁，F₂分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，M為橢圓上一點，MF₂垂直于x軸，橢圓下頂點和右頂點分別為A、B，且OM∥AB，
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F₂作于OM垂直的直線交橢圓于點P、Q，若，求橢圓的方程。

Answer 1

解：（1）設F₁(-c，0)，F₂(c，0)，則M（c，y），
∴A(0，-b)，B(a，0)，且OM∥AB， ∴k_OM=k_AB，
∴，
又點M在橢圓上，
∴，∴e=；
（2）由（1）得a=c，b=c，
∴橢圓的方程為，
∵k_AB=，
∴直線PQ的方程為y=-(x-c)，
∴點F₁到直線PQ的距離d=c，
又由，
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
∴x₁+x₂=c， x₁x₂=，
∴|PQ|=|x₁-x₂|=c，
=+c·c=20，
∴c²=，
∴a²=，b²=，
∴橢圓的方程為。