Question

已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），坐標(biāo)平面上一點(diǎn)P滿足：△PF₁F₂的周長為6，記點(diǎn)P的軌跡為C₁．拋物線C₂以F₂為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若過F₂的直線l與拋物線C₂交于A，B兩點(diǎn)，問在C₁上且在直線l外是否存在一點(diǎn)M，使直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數(shù)列，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用△PF₁F₂的周長為6，結(jié)合橢圓的定義，可求C₁的方程；利用拋物線C₂以F₂為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程與拋物線方程，利用直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數(shù)列，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意可知，△PF₁F₂的周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|，由于|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4，
由于|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，故點(diǎn)P的軌跡為C₁為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，且a=2，c=1，故，
故C₁的方程為：；C₂的方程為：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，，…（6分）
故，
故，…（8分）
由，y²-4my-4=0，
故y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，…（10分）
故m（x+1）（x-my-1）=0，…（11分）
因?yàn)橹本�AB不經(jīng)過點(diǎn)M，故x-my-1≠0，故m=0或x+1=0，…（12分）
當(dāng)m=0時(shí)，C₁上除點(diǎn)外，均符合題意；…（13分）
當(dāng)m≠0時(shí)，則當(dāng)x=-1時(shí)，橢圓上存在兩點(diǎn)和都符合條件．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓、拋物線的定義，考查橢圓的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．