已知P是雙曲線的右支上一點,A1,A2分別為雙曲線的左、右頂點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點,雙曲線的離心率為e,有下列命題:①雙曲線的一條準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為;
②若|PF1|=e|PF2|,則e的最大值為;③△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為a;④若直線PF1的斜率為k,則e2-k2>1,其中正確命題的序號是   
【答案】分析:求出準線被它的兩條漸近線所截得的線段的端點的縱坐標,即可得到此準線被它的兩條漸近線所截得的線段
長度為,故①正確.
由雙曲線的定義可得 2a+|PF2|=e|PF2|,根據(jù)|PF2|=≥c-a,求得1<≤1+,故②不正確.
由雙曲線的定義及圓的切線性質可得|KF1|=a+c,故△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為a,故③正確.
由題意可得k<,故e2-k2>1,故④正確.
解答:解:對于①,一準線方程為x=,它的兩條漸近線方程為 y=±x,
故準線被它的兩條漸近線所截得的線段的端點的縱坐標分別為
故此線段的長度為,故①正確.
對于②,若|PF1|=e|PF2|,則由雙曲線的定義可得 2a+|PF2|=e|PF2|,e>1.
∴|PF2|==≥c-a,∴e2-2e-1≤0,
∴1-≤1+,故有 1<e≤1+,即離心率的最大值為1+,故②不正確.
對于③,設△PF1F2的內切圓與PF1和PF2的切點分別為M,N,與x軸的切點為K,
由雙曲線的定義及圓的切線性質可得|MF1|-|NF2|=2a=|KF1|-|KF2|,
又|KF1|+|KF2|=2c,∴|KF1|=a+c,故K為雙曲線的右頂點,又△PF1F2的內切圓的圓心
在切點K 的正上方,故△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為a,故③正確.
對于④若直線PF1的斜率為k,則由題意可得k<,∴k2,∴e2-k2>1,故④正確.
故答案為:①③④.
點評:本題考查雙曲線的標準方程,以及雙曲線的簡單性質的應用,熟練掌握雙曲線的性質,是解題的關鍵.
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    ①雙曲線的一條準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為;

    ②若;

    ③的內切圓的圓心橫坐標為;

    ④若直線PF1的斜率為

    其中正確的命題的序號是           。

 

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    ①雙曲線的一條準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為

②若,則e的最大值為

的內切圓的圓心橫坐標為a;

④若直線PF1的斜率為k,則

其中正確的命題的序號是                  .

 

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①雙曲線的一條準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為;
②若|PF1|=e|PF2|,則e的最大值為;
③△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為a;
其中正確命題的序號是   

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