Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+3x+t，（t∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=e^xf（x）只有一個極值點，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=3x²-12x+3＜0，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求導函數(shù)，f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，函數(shù)g（x）=e^xf（x）有一個極值點，所以x³-3x²-9x+t+3=0有一個穿過x軸的根，即在其兩邊g'（x）異號，故可求t的取值范圍．

解答 解：（1）令f'（x）=3x²-12x+3＜0，
∴2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）；（5分）
（2）g'（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵g（x）有一個極值點，
∴x³-3x²-9x+t+3=0有一個穿過x軸的根，即在其兩邊g'（x）異號-----------------------------------（8分）
令h（x）=x³-3x²-9x+t+3，則h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）＞0得x＜-1或x＞3…（10分）
h（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上遞增，在區(qū)間（-1，3）上遞減．
∴h（-1）h（3）≥0∴t≤-8或t≥24．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的極值和單調(diào)性的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)g（x）=e^xf（x）有一個極值點，轉(zhuǎn)化為x³-3x²-9x+t+3=0有一個穿過x軸的根，即在其兩邊g'（x）異號．