Question

10．如圖，四邊形ABCD是矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為線段CE上一點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，AC交BD于點(diǎn)G．
（1）證明：AE∥平面BFD；
（2）求直線DE與平面ACE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連接FG，推導(dǎo)出BF⊥CE，從而得到FG∥AE，由此能證明AE∥平面BFD．
（2）推導(dǎo)出BC⊥AE，BF⊥AE，AE⊥BE，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線DE與平面ACE所成的角．

解答 證明：（1）連接FG，因?yàn)锽F⊥平面ACE，CE?平面ACE，所以BF⊥CE．
又因?yàn)镋B=BC，所以F為EC的中點(diǎn)，
而矩形ABCD中，G為AC的中點(diǎn)，所以FG∥AE，
又因?yàn)锳E?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
所以AE∥平面BFD． …（5分）
解：（2）因?yàn)镈A⊥平面ABE，BC∥DA，
所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE．
又因?yàn)锽F⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以BF⊥AE．
而BC∩BF=B，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又因?yàn)锳E=EB=2，所以$AB=2\sqrt{2}$．以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意得A（0，0，0），$E（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，D（0，0，2），$C（0，2\sqrt{2}，2）$，
所以$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2\sqrt{2}，2）$
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為$\vec n=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{AE}=0\\ \vec n•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0\\ 2\sqrt{2}y+2z=0\end{array}\right.$，
令x=1，得$\vec n=（1，-1，\sqrt{2}）$，
又因?yàn)?\overrightarrow{DE}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2）$，
設(shè)直線DE與平面ACE所成的角為α，
則$sinα=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{DE}＞}|=\frac{{|{\vec n•\overrightarrow{DE}}|}}{{|{\vec n}|•|{\overrightarrow{DE}}|}}=\frac{{|{\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{4}•\sqrt{8}}}=\frac{1}{2}$，所以$α=\frac{π}{6}$，
故直線DE與平面ACE所成的角為$\frac{π}{6}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的證明，考查線面角的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．