Question

已知點F是雙曲線C：x²-y²=2的左焦點，直線l與雙曲線C交于A、B兩點，
（1）若直線l過點P（1，2），且，求直線l的方程．
（2）若直線l過點F且與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，設，當λ∈[6，+∞）時，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A、B兩點在雙曲線上，代入雙曲線方程，利用點差法，結合，可求直線l的斜率，進而可求方程．
（2）根據(jù)，可得坐標關系，將直線方程代入雙曲線方程，從而可得關于λ的函數(shù)，從而可求直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
（1）由A、B兩點在雙曲線上，得
作差：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）即，
由，知
則直線l的斜率，直線l的方程為即x-2y+3=0
易知直線l與雙曲線有兩個交點，方程x-2y+3=0即為所求，
（2）F（-2，0），由，得
設直線l：y=k（x+2），由，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²），．
由y₂=λy₁，，，消去y₁，y₂，
得．
∵λ≥6，函數(shù)在（1，+∞）上單調遞增，
∴，∴．
又直線l與雙曲線的兩支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0兩根同號，
∴k²＜1．
∴，故．
點評：本題以雙曲線為載體，考查直線與雙曲線的位置關系，考查點差法，關鍵是設點代入作差．