Question

7．已知過點p（0，-2）的直線l與圓C：x²+y²-10x-2y+22=0相交于A、B兩點，若滿足5$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，則這條直線的斜率為$\frac{7}{23}$或1．

Answer 1

分析 設直線l：y=kx-2，設A（a，ka-2）、B（b，kb-2），利用5$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得5a=3b；將y=kx-2代入x²+y²-10x-2y+22=0，利用韋達定理，兩者結合，即可求出直線的斜率．

解答 解：設直線l：y=kx-2，設A（a，ka-2）、B（b，kb-2），
∵5$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，
∴5（a-0，ka-2+2）=3（b-0，kb-2+2），即5（a，ka）=3（b，kb），從而5a=3b①
將y=kx-2代入x²+y²-10x-2y+22=0中可得：（k²+1）x²-（6k+10）x+30=0，
∴a+b=$\frac{6k+10}{{k}^{2}+1}$，ab=$\frac{30}{{k}^{2}+1}$②．
聯立解得k=$\frac{7}{23}$或k=1
故答案為：$\frac{7}{23}$或1．

點評 本題考查直線的斜率，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．