Question

15．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P（1，$\frac{1}{2}$）作圓x²+y²=1的切線，切點分別為A、B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（-5，0）作一直線l交橢圓C于M、N兩點，記$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，線段MN上的點R滿足$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，求點R的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓的方程相減即可得出兩圓相交的交點所在的直線的方程，進而得出橢圓的焦點、頂點，再利用橢圓的性質(zhì)即可得出方程；
（2）由題意知，設方程為x=ty-5），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（x₀，y₀）．把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，即可得出坐標之間的關(guān)系，$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，消去λ及k即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設點P（1，$\frac{1}{2}$），O（0，0）．則以線段OP為直徑的圓的方程為：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{4}$）²=$\frac{5}{16}$
與方程x²+y²=1相減得x+$\frac{1}{2}$y=1．
令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．
∴焦點為（1，0），上頂點為（0，2）．
∴c=1，b=2．a(chǎn)²=b²+c²=5．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設方程為x=ty-5，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（x₀，y₀）．
代入橢圓方程得（5+4t²）y²-40ty+80=0．
由題意△=（-40t）²-320（5+4t²）＞0，即t²＞5，
∴y₁+y₂=$\frac{40t}{5+4{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{80}{5+4{t}^{2}}$①
由$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-λ{x}_{2}-5（1+λ）}\\{{y}_{1}=-λ{y}_{2}}\end{array}\right.$，
代入①整理可得$\frac{（1-λ）^{2}}{λ}$=-$\frac{20{t}^{2}}{5+4{t}^{2}}$且x₂=$\frac{40{t}^{2}}{（1-λ）（5+4{t}^{2}）}-5$②
由$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，得x₀=$\frac{-2λ{x}_{2}-5-5λ}{1-λ}$，y₀=$\frac{-2λ}{1-λ}{y}_{2}$
由①②得x₀=-1，y₀=$\frac{4}{t}$∈（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
∴R的軌跡方程為x=-1（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$＜y＜$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運算性質(zhì)等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．