Question

已知數(shù)列，滿足：．
（1）若，求數(shù)列的通項公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
② 若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

（1）
（2）①根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明相鄰兩項的差為定值來得到證明。從第二項起滿足題意即可。
②當(dāng)，數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次

試題分析：解：（1）當(dāng)時，有
．
又也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是．    4分
（2）①因為對任意的，有，所以，
，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列．                    8分
②設(shè)（其中為常數(shù)且，
所以，，
即數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列．               10分
設(shè)．
（其中為中一個常數(shù)）
當(dāng)時，對任意的，有；             12分
當(dāng)時，．
（Ⅰ）若，則對任意的有，所以數(shù)列為遞減數(shù)列；
（Ⅱ）若，則對任意的有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列．
綜上所述，集合．
當(dāng)時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次；
當(dāng)時，數(shù)列均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．     18分
點評：主要是考查了等差數(shù)列的概念和數(shù)列的單調(diào)性的運用，屬于難度題。