Question

17．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DA=DC=4，DD₁=3，
（1）求異面直線A₁B與B₁C所成角的余弦值．．
（2）若點E、F分別是AB、A₁B的中點，求證：EF∥平面BDD₁．

Answer 1

分析 （1）連接A₁D，將B₁C平移到A₁D，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠BA₁D為異面直線A₁B與B₁C所成的角，在△A₁DB中利用余弦定理求出此角的余弦值；
（2）連接BD₁，根據(jù)EF∥DD₁來證明EF∥平面BDD₁．

解答 解：（1）連接A₁D，
∵A₁D∥B₁C，
∴∠BA₁D為異面直線A₁B與B₁C所成的角．
連接BD，在△A₁DB中，A₁B=A₁D=5，BD=4$\sqrt{2}$，
則cos∠BA₁D=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}-B{D}^{2}}{2{A}_{1}B•{A}_{1}D}$=$\frac{25+25-32}{2•5•5}$=$\frac{9}{25}$．
∴異面直線A₁B與B₁C所成角的余弦值為$\frac{9}{25}$；
（2）證明：∵點E、F分別是AB、A₁B的中點，
∴EF∥AA₁．
∵DD₁∥AA₁，
∴EF∥DD₁，
又DD₁?平面BDD₁，EF?平面BDD₁，
∴EF∥平面BDD₁．

點評 本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．