已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]．
（1）當(dāng)x=
π
4
時，求|
a
+
b
|；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=|
a
+
b
|+
a
•
b
，求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)的x的值．
分析：（1）由題意得出向量
a
、
b
的坐標(biāo)，利用誘導(dǎo)公式化簡出
a
+
b
=（sin
π
8
+cos
π
8
，cos
π
8
-sin
π
8
），再根據(jù)向量模的公式加以計算，即可算出的|
a
+
b
|值；
（2）由向量的數(shù)量積公式、模的公式和三角恒等變換公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出f（x）=2cos2x+2cosx-1，最后利用x∈[0，
π
2
]得cosx∈[0，1]，即可得到f（x）的最值及相應(yīng)的x的值．
解答：解：（1）當(dāng)x=
π
4
時，
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)=（cos
3π
8
，sin
3π
8
），
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)=（cos
π
8
，-sin
π
8
），
∴
a
+
b
=（cos
3π
8
+cos
π
8
，sin
3π
8
-sin
π
8
）=（sin
π
8
+cos
π
8
，cos
π
8
-sin
π
8
）
可得|
a
+
b
|2=（sin
π
8
+cos
π
8
）2+（cos
π
8
-sin
π
8
）2=2（sin2
π
8
+cos2
π
8
）=2
∴|
a
+
b
|=
2
；
（2）∵
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
∴
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
+sin
3
2
x(-sin
x
2
)=cos2x，
|a|
=
|b|
=1
可得|
a
+
b
|2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2=2+2cos2x=2+2（2cos2x-1）=4cos2x，
∴由x∈[0，
π
2
]，得|
a
+
b
|=
4cos2x
=2cosx
f(x)=|
a
+
b
|+
a
•
b
=2cosx+cos2x=2cos2x+2cosx-1，
∵cosx∈[0，1]，
∴當(dāng)cosx=0時即x=
π
2
時，f（x）的最小值為-1；cosx=1時即x=0時，f（x）的最大值為3．
點評：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)形式，求f(x)=|
a
+
b
|+
a
•
b
的最值及相應(yīng)的x的值．著重考查了向量數(shù)量積公式、模的公式和三角恒等變換公式等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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