Question

如圖：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=C₁C，AC⊥CB，D為AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求二面角B-B₁C-D的正弦值的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BC₁交B₁C于E，證明AC₁∥平面CDB₁，只需證明AC₁∥DE，利用三角形中位線可得；
（2）求出點(diǎn)B到平面B₁CD的距離，即可求二面角B-B₁C-D的正弦值的大�。�

解答： （1）證明：連接BC₁交B₁C于E，∴E為BC₁的中點(diǎn)，…（2分）
連接DE，由D為AB的中點(diǎn)，∴DE為△ABC₁的中位線，
∴AC₁∥DE，…（4分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；                                              …（6分）
（2）解：由AC=BC=C₁C易知BB₁C₁C為正方形，
∴BE⊥B₁C，
令A(yù)C=BC=C₁C=1，
設(shè)點(diǎn)B到平面B₁CD的距離為d，則由等體積可得

1

3

•

1

2

•

2

2

•

6

2

d=

1

3

•

1

2

•

2

2

•

2

2

•1，
∴點(diǎn)B到平面B₁CD的距離為

3

3

，且BE=

2

2

，…（10分）
若二面角B-B₁C-D的平面角為α，則sinα=

d

BE

=

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，正確利用線面平行的判定定理，求出點(diǎn)B到平面B₁CD的距離是關(guān)鍵．