Question

已知函數(shù)g（x）=e^x-1-ax，a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若a=1，求g（x）的單調區(qū)間；
（2）設f(x)=g(x)-

x2

2

-

x3

6

，若當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時代入到g（x）的解析式中，求導，分別令導函數(shù)大于0和小于0，求出單調區(qū)間；
（2）對f（x）求導，得到f′(x)=ex-a-x-

x2

2

，再次求導，得到f″（x）=e^x-1-x，由（1）知，當x≥0時，f″（x）≥0，從而得到f′（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，亦有f′（x）_min=f′（0）=1-a，然后只需分成1-a≥0和1-a＜0兩種情況討論分析即可．

解答： 解：（1）當a=1時，g（x）=e^x-1-x，則g′（x）=e^x-1，
令g′（x）＞0，即e^x-1＞0，x＞0；令g′（x）＜0，即e^x-1＜0，x＜0，
∴g（x）的單調増區(qū)間是（0，+∞），g（x）的單調減區(qū)間是（-∞，0）．
（2）由題可得，f（x）=ex-1-ax-

x2

2

-

x3

6

，則當x≥0時，ex-1-ax-

x2

2

-

x3

6

≥0恒成立，
f′(x)=ex-a-x-

x2

2

，f″（x）=e^x-1-x，
由（1）知，f″（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，且f″（x）=0，
得，當x≥0時，f″（x）≥0，即f′（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，
∴f′（x）_min=f′（0）=1-a，
①當1-a≥0時，f′（x）≥1-a≥0，從而f（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，又f（0）=0，即當x≥0時，f（x）≥0恒成立，滿足題意；
②當1-a＜0時，f′（x）_min＜0，結合著f′（x）的性質，即f′（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)及當x→+∞時，f′（x）→+∞，可知，
必存在一個x₀＞0，且f（x₀）=0，則當0＜x＜x₀時，f′（x）＜0，即當0＜x＜x₀時，f（x）為單減函數(shù)，即f（x）＜f（0）=0，顯然，不合題意．
綜上所述，a≤1．

點評：本題第二問的求解中，需要對導函數(shù)再次求導來解決問題．學生在處理時，需要很清楚的把握原函數(shù)和導函數(shù)的關系，由導函數(shù)的符號轉化為原函數(shù)的單調性，一層一層剖析轉化，最終達到題目中的要求，即“當x≥0時，f（x）≥0恒成立”．