如圖,設(shè)是棱長為的正方體的一個頂點,過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面,對正方體的所有頂點都如此操作,所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體,則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論:①有個頂點;②有條棱;③有個面;④表面積為;⑤體積為.其中正確的結(jié)論是____________.(要求填上所有正確結(jié)論的序號)
①②⑤
【解析】解:如圖,
原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形,再添了八個頂點各對應(yīng)的一個三角形的面,所以總計6+8=14個面,故③錯;
每個正方形4條邊,每個三角形3條邊,4×6+3×8=48,考慮到每條邊對應(yīng)兩個面,所以實際只有×48=24條棱.②正確;
所有的頂點都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點位置,
原來的棱的數(shù)目是12,所以現(xiàn)在的頂點的數(shù)目是12.
或者從圖片上可以看出每個頂點對應(yīng)4條棱,每條棱很明顯對應(yīng)兩個頂點,所以頂點數(shù)是棱數(shù)的一半即12個.①正確;
三角形和四邊形的邊長都是a,所以正方形總面積為6××a2=3a2,三角形總面積為8××a2sin60°=a2,表面積(3+)a2,故④錯;
體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積,每個三棱錐體積為8×()3=a2,剩余總體積為a3- a3= a3⑤正確.
故答案為:①②⑤.
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(04年上海卷)(16分)
如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)
(1) 證明:P-ABC為正四面體;
(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3) 設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長均相等的直
平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和? 若存在,請具體構(gòu)造
出這樣的一個直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,把邊長為的正六邊形紙板剪去相同的六個角,做成一個底面為正六邊形的無蓋六棱柱盒子,設(shè)高為,所做成的盒子體積為(不計接縫)。
(1)寫出體積與高的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)為多少時,體積最大,最大值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省泰州市泰興三中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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