Question

等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+3a₂=

2

3

，a₃²=81a₄a₆
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2ⁿlog₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），由已知列式求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=2ⁿlog₃a_n，然后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁+3a₂=

2

3

，得3a₁（1+3q）=2  ①，
又a32=81a4a6，得a32=81a3q4，即q=

1

3

．
把q=

1

3

代入①得，a1=

1

3

．
∴an=

1

3n

；
（2）b_n=2ⁿlog₃a_n=2nlog33-n=-n•2n，
∴Sn=-1•21-2•22-3•23-…-n•2n，
2Sn=-1•22-2•23-3•24-…-n•2n+1，
作差得：Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．