Question

將邊長(zhǎng)為的正方形和等腰直角三角形按圖拼為新的幾何圖形,中,,連結(jié),若,為中點(diǎn)

（Ⅰ)求與所成角的大小;
（Ⅱ)若為中點(diǎn)，證明：平面；
（Ⅲ)證明：平面平面

Answer 1

（Ⅰ) ；（Ⅱ)參考解析； （Ⅲ)參考解析.

試題分析：（Ⅰ) 通過(guò)已知條件說(shuō)明直線AE,AD,AB兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)并寫(xiě)出相應(yīng)的向量.異面直線所成角的問(wèn)題是轉(zhuǎn)化為兩向量所成角的問(wèn)題.通過(guò)計(jì)算向量所成角的余弦值的絕對(duì)值得到對(duì)應(yīng)的異面直線所成角的余弦值，從而求出異面直線所成的角.（Ⅱ)線面所成的角本題較簡(jiǎn)單是通過(guò)直線平行于平面內(nèi)的一條直線.直線與平面平行還有一種常用的方法就是，該直線與平面的一條法向量垂直，這種方法常用在平面內(nèi)很難找出一條直線與已知直線平行.（Ⅲ)本小題的平面與平面垂直的判定方法是通過(guò)證明AM垂直于平面CBE.又因?yàn)橹本�AM在平面CAM內(nèi)，所得到的兩平面垂直.這類(lèi)題型還有一種方法就是求出兩平面的法向量，證明它們的數(shù)量積為零.本題較容易，當(dāng)然本題不建立坐標(biāo)系同樣好做.立幾知識(shí)盡量建立坐標(biāo)系完成，另外線面的關(guān)系可以在解題中幫助我們思路及計(jì)算更加清晰.
試題解析：（Ⅰ)解：∵,,
∴,又


∴面
為等腰直角三角形且
∴
兩兩垂直
分別以所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則，

，
∴
∴
∴與所成角的大小為      4分
（Ⅱ) ∵，為中點(diǎn)
∴，而
∴

∴與共線，
面，面
∴平面       8分
Ⅲ)面
面
∴

∴
又為等腰直角三角形且為斜邊中點(diǎn)
∴

∴面
又面
∴平面平面     12分