Question

6．若數列{a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=d（n∈N^*，d為常數），則稱數列{a_n}為調和數列，現(xiàn)有一調和數列{b_n}滿足b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$．
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）若數列c_n=$\frac{_{n}}{n+2}$，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）{b_n}為調和數列，故{$\frac{1}{_{n}}$}為等差數列，利用等差數列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）c_n=$\frac{_{n}}{n+2}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵{b_n}為調和數列，故{$\frac{1}{_{n}}$}為等差數列，
又$\frac{1}{_{2}}-\frac{1}{_{1}}$=1，
故{$\frac{1}{_{n}}$}為等差數列，首項與公差都為1．
∴$\frac{1}{_{n}}$=1+n-1=n，
故b_n=$\frac{1}{n}$．…（6分）
（Ⅱ）c_n=$\frac{_{n}}{n+2}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，…（8分）
∴S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了等差數列通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．