Question

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個最低點為$M（\frac{2π}{3}，-2）$
（1）求A，ω，φ的值．
（2）寫出函數(shù)f（x）圖象的對稱中心及單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）當x∈$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意知，A=2，T=π，可求得ω，由圖象上一個最低點為$M（\frac{2π}{3}，-2）$，可求得φ；
（2）求f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，寫出函數(shù)f（x）圖象的對稱中心及單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）由x∈$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$⇒2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的值域．

解答 解：（1）由題意知，A=2，T=π，∴ω=2；
又圖象上一個最低點為$M（\frac{2π}{3}，-2）$，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$；
（2）f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，可得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，
∴函數(shù)f（x）圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0），k∈Z；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$，k∈Z；
（3）∵x∈$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤f（x）≤2．
即f（x）的值域為[-1，2]．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．