已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:F(x)是R上的增函數(shù);
(2)證明:函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
a2
,0)成中心對(duì)稱圖形.
分析:(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟,第一步,設(shè)所給區(qū)間上任意兩個(gè)自變量x1,x2,且x1<x2,第二步,作差比較F(x1)與F(x2)的大小,第三步,得出結(jié)論,本題嚴(yán)格按照步驟去做,比較F(x1)與F(x2)時(shí),要借助函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)要證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
a
2
,0)成中心對(duì)稱圖形,只需證明函數(shù)y=F(x)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)
a
2
,0)的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)y=F(x)的圖象上即可,先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出函數(shù)y=F(x)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)
a
2
,0)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo),再代入函數(shù)y=F(x)的解析式,看是否成立即可.
解答:解:(1)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
則F(x1)-F(x2
=f(x1)-f(a-x1)-[f(x2)-f(a-x2)].
=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].
∵x1<x2,∴-x1>-x2,∴a-x1>a-x2,
∵函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).
∴f(x1)-f(x2)<0,f(a-x2)-f(a-x1)<0.
∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.
即F(x1)<F(x2),
∴F(x)是R上的增函數(shù).
(2)設(shè)M(x0,y0)為函數(shù)y=F(x)的圖象上任一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)(
a
2
,0)的對(duì)稱點(diǎn)為N(m,n),
a
2
=
x0+m
2
,0=
y0+n
2
,,∴m=a-x0,n=-y0,
∵把m=a-x0代入F(x)=f(x)-f(a-x).
得,f(a-x0)-f(a-a+x0)=f(a-x0)-f(x0)=-y0=n
即點(diǎn)N(m,n)在函數(shù)F(x)的圖象上.
∴函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
a
2
,0)成中心對(duì)稱圖形.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,以及抽象函數(shù)對(duì)稱性的判斷,做題時(shí)嚴(yán)格按照定義去做.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2

(1)計(jì)算:[f(1)]2-[g(1)]2;
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn),且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長度是一個(gè)定值,則AB的值是( 。

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