Question

6．已知函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并證明f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
（2）用定義證明f（x）在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）求不等式f（x²-$\frac{3}{2}$x）+f（1-x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進行證明即可，
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可，
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化進行求解即可．

解答 解：（1）由對數(shù)函數(shù)的定義得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞-1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．
∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)．
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=lg（1+x₁）-lg（1-x₁）-lg（1+x₁）+lg（1+x₁）=lg$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴0＜1+x₁＜1+x₂，
0＜1-x₂＜1-x₁，
于是0＜$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$＜1，0＜$\frac{1-{x}_{2}}{1-{x}_{1}}$＜1，
則0＜$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$＜1，
則lg$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)且為奇函數(shù)，
則不等式f（x²-$\frac{3}{2}$x）+f（1-x）＞0可轉(zhuǎn)化為f（x²-$\frac{3}{2}$x）＞-f（1-x）=f（x-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}-\frac{3}{2}x＜1}\\{-1＜1-x＜1}\\{{x}^{2}-\frac{3}{2}x＞x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜2}\\{0＜x＜2}\\{x＜\frac{1}{2}或x＞2}\end{array}\right.$，即0＜x＜$\frac{1}{2}$．
故不等式f（x²-$\frac{3}{2}$x）+f（1-x）＞0的解集是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要函數(shù)奇偶性和單調(diào)性判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．