已知銳角△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=（2cos2
B
2
-1，cos2B），且
m
⊥
n
．
（1）求B的大��；
（2）若sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，且
BA
•（
AC
-
AB
）=18，求b的值．
分析：（1）把向量
n
的坐標(biāo)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再由
m
⊥
n
，得到其數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B為銳角，得到這個(gè)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)，得到2b=a+b，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)
BA
•（
AC
-
AB
）=18，把cosB的值代入得到ac的值，利用余弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cosB，把cosB及ac的值代入，配方后將a+c換為2b，得到關(guān)于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
解答：解：（1）∵向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=（2cos2
B
2
-1，cos2B）=（cosB，cos2B），且
m
⊥
n
．
∴
m
•
n
=0，即2sinBcosB+
3
cos2B=sin2B+
3
cos2B=2sin（2B+
π
3
）=0，…（4分）
又∵0＜B＜
π
2
，∴2B+
π
3
=π，
∴B=
π
3
；…（6分）
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列得：2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理得：2b=a+c，
∵
BA
•（
AC
-
AB
）=18，∴
BA
•
BC
=18，
即ac•cosB=18，可得ac=36，
由余弦弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cosB=（a+c）2-3ac，
∴b2=4b2-3×36，即b2=36，
∴b=6．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•杭州二模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角△ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1．已知BC平行于x軸，AB所在直線方程為y=kx+m（k＞0），記角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，記∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）給出下列命題，其中正確的命題是
①③④
①③④
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①非零向量
a
、
b
滿足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，則
a
與
a
+
b
的夾角為30°；
②已知非零向量
a
、
b
，則“
a
•
b
＞0”是“
a
、
b
的夾角為銳角”的充要條件；
③命題“在三棱錐O-ABC中，已知
OP
=x
OA
+y
OB
-2
OC
，若點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，則x+y=3”的否命題為真命題；
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0，則△ABC為等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2sin(x-
π
3
)cosx+sinxcosx+
3
sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，B為銳角，且f(B)=
3
，AC=4
3
，D是BC邊上一點(diǎn)，AB=AD，試求AD+DC的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省金華一中2011－2012學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 題型：013

給出下列命題：

(1)α、β是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則sinα＜sinβ；

(2)在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則AC的取值范圍為()；

(3)已知與為互相垂直的單位向量，＝－2，＝＋λ且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是；

(4)已知O是△ABC所在平面內(nèi)定點(diǎn)，若P是△ABC的內(nèi)心，則有＝＋λ()，λ∈R；

(5)直線x＝－是函數(shù)y＝sin(2x－)圖象的一條對(duì)稱軸．

其中正確命題是

[　　]

A．(1)(3)(5)

B．(2)(4)(5)

C．(2)(3)(4)

D．(1)(4)(5)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知在銳角ΔABC中，角所對(duì)的邊分別為，且

(I )求角大��；

(II)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

20．如圖1，在平面內(nèi)，是的矩形，是正三角形，將沿折起，使如圖2，為的中點(diǎn)，設(shè)直線過點(diǎn)且垂直于矩形所在平面，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)位于平面的同側(cè)。

（1）求證：平面；

（2）設(shè)二面角的平面角為，若，求線段長(zhǎng)的取值范圍。

 


21.已知A，B是橢圓的左，右頂點(diǎn)，，過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)M，N，交直線于點(diǎn)P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列,R和Q是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，R和Q的橫坐標(biāo)之和為2，RQ的中垂線交X軸于T點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程；

（2）求三角形MNT的面積的最大值

22. 已知函數(shù) ，

（Ⅰ）若在上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為，試求和的值。

（Ⅱ）若為奇函數(shù)：

（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得在為增函數(shù)，為減函數(shù)，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）如果當(dāng)時(shí)，都有恒成立，試求的取值范圍.

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