設Sn為數(shù)列{an}的前項和,已知a1≠0,Sn=
2an
a1
-1,n∈N*
(1)求a1,a2;
(2)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{nan}的前n項和.
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)當n=1時,a1=2-1=1,當n=2時,a1+a2=
2a2
a1
-1
,解得a2=2.
(2)當n≥2時,an=Sn-Sn-1,化為an=2an-1.即可證明數(shù)列{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)得an=2n-1.設Tn為數(shù)列{nan}的前n項和.可得Tn=1+2×2+3×22+…+n•2n-1,利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
解答: (1)解:當n=1時,a1=2-1=1,當n=2時,a1+a2=
2a2
a1
-1
,即1+a2=2a2-1,解得a2=2.
(2)證明:當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),化為an=2an-1
又a2=2a1,因此n=1時也成立.
∴數(shù)列{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.
(3)解:由(2)得an=2n-1
設Tn為數(shù)列{nan}的前n項和.
∴Tn=1+2×2+3×22+…+n•2n-1,
∴2Tn=2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n,
∴-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=
2n-1
2-1
-n•2n
=(1-n)•2n-1,
∴Tn=(n-1)•2n+1.
點評:本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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x
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π
4
C、x=
π
8
D、x=
8

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③函數(shù)y=
1
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④方程2|x|=log2(x+2)+1的實根的個數(shù)是2.
所有正確命題的序號是
 
(請將所有正確命題的序號都填上)

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