Question

12．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AC₁⊥平面ABC，$A{A_1}=\sqrt{2}a$，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D是AA₁的中點．
（1）求證：CD⊥平面AB₁；
（2）在側(cè)棱BB₁上確定一點E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；又AC=A₁C，D為AA₁中點，則CD⊥AA₁．即可證明：CD⊥平面AB₁；
（2）求出平面的法向量，利用二面角E-A₁C₁-A的大小為$\frac{π}{3}$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，
∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D為AA₁中點，則CD⊥AA₁．
∴CD⊥面ABB₁A₁．
（2）解：如圖所示以點C為坐標(biāo)系原點，CA為x軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則有A（a，0，0），B（a，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），C₁（-a，0，a），
設(shè)E（x，y，z），且$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{B{B_1}}$，即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），
所以E點坐標(biāo)為（（1-λ）a，a，λa）．
由條件易得面A₁C₁A的一個法向量為$\overrightarrow{n_1}=（0，1，0）$．
設(shè)平面EA₁C₁的一個法向量為$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{{A_1}{C_1}}\\ \vec n⊥\overrightarrow{{A_1}E}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}-ax=0\\（1-λ）ax+ay+（λ-1）az=0\end{array}\right.$，
令y=1，則有$\overrightarrow{n_2}=（0，1，\frac{1}{1-λ}）$，
則$cos\frac{π}{3}=|\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}|$=$\frac{1}{{\sqrt{1+\frac{1}{{{{（1-λ）}^2}}}}}}=\frac{1}{2}$，得$λ=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
所以，當(dāng)$\frac{{|\overrightarrow{BE}|}}{{|\overrightarrow{B{B_1}}|}}=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，二面角E-A₁C₁-A的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判斷，考查了二面角的計算，屬于中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．