Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|2x-1|+|x+1|-a}$的定義域為R．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a的最大值為k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求證：$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$≥3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，求出表達(dá)式的最小值，即可得到a的范圍，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得m+n=3，則（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{3}$（1+4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），根據(jù)基本不等式即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵|2x-1|+|x+1|-a≥0，
∴a≤|2x-1|+|x+1|，
根據(jù)絕對值的幾何意義可得|2x-1|+|x+1|的最小值為$\frac{3}{2}$，
∴a≤$\frac{3}{2}$，
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a的最大值為k=$\frac{3}{2}$，
∴m+n=3，
∴（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{3}$（1+4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{3}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=3，
問題得以證明．

點評 本題考查絕對值的幾何意義，不等式的證明，考查計算能力．