Question

在五邊形ABCDE中（圖一），BD是AC的垂直平分線，O為垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC．沿對角線AC將四邊形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC（圖二）．

（1）求證：平面EBC⊥平面EAB；
（2）若OD=OB=1，求點(diǎn)A到平面DBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出OD⊥平面ABC，從而得AE⊥BC，進(jìn)而得到BC⊥平面EAB，由此能證明平面EBC⊥平面EAB．
（2）連AD，設(shè)點(diǎn)A到平面DBC的距離為d，由V_A-DBC=V_D-ABC，利用等積法能求出點(diǎn)A到平面DBC的距離．

解答： （1）證明：∵平面ACDE⊥平面ABC，OD⊥AC，
∴OD⊥平面ABC，…（2分）
∵AE∥OD，∴AE⊥平面ABC，∴AE⊥BC，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面EAB，
∵BC∥平面EBC，
∴平面EBC⊥平面EAB．…（6分）
（2）解：∵OD=OB=1，
∴BC=DB=DC=

2

，
S△DBC=

3

4

×(

2

)2=

3

2

…（8分）
連AD，設(shè)點(diǎn)A到平面DBC的距離為d，
∵V_A-DBC=V_D-ABC
∴

1

3

•S△DBC•d=

1

3

•

1

2

•AC•OB•OD，
整理，得

3

2

d=1，解得d=

2 3

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．