Question

已知).

（1）若時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）令是否存在實數(shù)，當(dāng)是自然對數(shù)的底）時，函數(shù)的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在實數(shù)，使在上的最小值是.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時， ，求其在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，得到切線斜率，由點斜式即得所求；

（2）函數(shù)在上是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化成在上恒成立；

令，解即得；

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使在上的最小值是，根據(jù)，

討論當(dāng)、 、等三種情況時，令，求解即得.

（1）當(dāng)時， 1分

,函數(shù)在點處的切線方程為 3分

（2）函數(shù)在上是減函數(shù)

在上恒成立 4分

令，有得 6分

7分

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使在上的最小值是3

8分

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，

（舍去) 10分

當(dāng)且時，即，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，（舍去) 11分

當(dāng)且時，即時，令，得；，得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，滿足條件 13分

綜上所述，存在實數(shù)，使在上的最小值是. 14分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.