Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，各項都是正數(shù)，且a₁，

1

2

a₃，2a₂成等差數(shù)列，則

a3+a10

a1+a8

=

3+2

2

．

Answer 1

分析：由已知的a₁，

1

2

a₃，2a₂成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用等比數(shù)列的通項公式化簡后，根據(jù)首項不為0，兩邊同時除以首項得到關(guān)于q的方程，求出方程的解得到q的值，然后將所求的式子利用等比數(shù)列的通項公式化簡后，將q的值代入即可求出值．

解答：解：∵a₁，

1

2

a₃，2a₂成等差數(shù)列，
∴a₃=a₁+2a₂，又?jǐn)?shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴a₁q²=a₁+2a₁q，
∵等比數(shù)列{a_n}中，各項都是正數(shù)，
∴a₁＞0，q＞0，
∴q²-2q-1=0，
解得：q=

2±2 2

2

=1±

2

，
∴q=1+

2

，q=1-

2

（小于0舍去），
則

a3+a10

a1+a8

=

a1q2+a1q9

a1+a1q7

=

q2+q9

1 +q7

=

q2(1+q7)

1 +q7

=q²=（1+

2

）²=3+2

2

．
故答案為：3+2

2

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．