Question

已知向量

a

=（ 

3

，1），向量

b

=（sin2x，cos2x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并作出函數(shù)y=f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖（用五點(diǎn)法列表描點(diǎn)）；
（2）求函數(shù)y=f（x）的周期，并寫(xiě)單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由平面向量的數(shù)量積公式和兩角和的正弦公式，即可得到f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），運(yùn)用五點(diǎn)法，即可得到在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖；
（2）由周期公式得到周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由于向量

a

=（ 

3

，1），向量

b

=（sin2x，cos2x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
則有f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
函數(shù)的周期為T(mén)=

2π

2

=π，先用“五點(diǎn)法”作出一個(gè)周期的圖象，列表：

x	- π 12	π 6	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
2sin（2x+ π 6 ）	0	2	0	-2	0

描點(diǎn)得整個(gè)圖象，如右．
（2）函數(shù)y=f（x）的周期為π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

≤x≤
kπ+

3π

4

，
則單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k為整數(shù)）；
單調(diào)減區(qū)間[kπ+

π

6

，kπ+

3π

4

]（k為整數(shù)）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，同時(shí)考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．