Question

20．已知圓C過點M（0，-2），N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點（6，3）作圓C的切線，求切線方程；
（Ⅲ）設直線l：y=x+m，且直線l被圓C所截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C₁過原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，通過點在圓上，列出方程求解即可．
（Ⅱ）圓C的方程為（x-3）²+（y+2）²=9，當斜率存在時，設切線方程為y-3=k（x-6），則$\frac{|5-3k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，求解切線方程．當斜率不存在時，x=6．推出結果．
（Ⅲ）直線l的方程為y=x+m．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+4y+4=0}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，利用韋達定理以及|OA|²+|OB|²=|AB|²，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}-\frac{D}{2}-E+1=0\\ 4-2E+F=0，10+3D+E+F=0\end{array}$解得D=-6，E=4，F(xiàn)=4，
所以圓C的方程為x²+y²-6x+4y+4=0．…（4分）
（Ⅱ）圓C的方程為（x-3）²+（y+2）²=9，
當斜率存在時，設切線方程為y-3=k（x-6），則$\frac{|5-3k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，解得$k=\frac{8}{15}$，
所以切線方程為$y-3=\frac{8}{15}（x-6）$，即8x-15y-3=0．…（7分）
當斜率不存在時，x=6．
所以所求的切線方程為8x-15y-3=0或x=6．…（8分）
（Ⅲ）直線l的方程為y=x+m．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+4y+4=0}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，
消去y得2x²+2（m-1）x+m²+4m+4=0，（*）…（9分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=1-m}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m+4}{2}}\end{array}\right.$，
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²．
∵AB為直徑，∴∠AOB=90°，∴|OA|²+|OB|²=|AB|²，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
得x₁x₂+y₁y₂=0，∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，…（11分）
即m²+4m+4+m（1-m）+m²=0，解得m=-1或m=-4．
容易驗證m=-1或m=-4時方程（*）有實根．
所以直線l的方程是y=x-1或y=x-4．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系，圓的方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．