設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的左焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，
AF
=2
FB
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）如果|AB|=
15
4
，求橢圓C的方程．
（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知y1＞0，y2＜0．
直線l的方程為  y=
3
(x-c)，其中c=
a2-b2
．
聯(lián)立
y=
3
(x-c)
x2
a2
+
y2
b2
=1
得(3a2+b2)y2+2
3
b2cy-3b4=0，
解得y1=
-
3
b2(c+2a)
3a2+b2
，y2=
-
3
b2(c-2a)
3a2+b2
，
因為
AF
=2
FB
，所以-y1=2y2．即 
3
b2(c+2a)
3a2+b2
=2•
-
3
b2(c-2a)
3a2+b2
，
所以3c=2a，得離心率 e=
c
a
=
2
3
．
（2）由（1）知c=
2
3
a，
則|AB|=
1+
1
3
|y2-y1|=
2
3
3
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
3
3
(
-2
3
b2c
3a2+b2
)2+
4×3b4
3a2+b2
2
3
3
•
4
3
ab2
3a2+b2
，
所以
2
3
•
4
3
ab2
3a2+b2
=
15
4
．
再由
c
a
=
2
3
得b=
5
3
a．
所以
5
4
a=
15
4
，得a=3，b=
5
．
橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
5
=1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案