Question

【題目】已知函數(shù)，.

(Ⅰ)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；

(Ⅱ)若，是函數(shù)的兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 最小值為，最大值為； (Ⅱ)證明見解析。

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，運用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．

（Ⅱ）x1，x2是函數(shù)的兩個極值點，所以（x1）＝（x2）＝0．令通過及構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出,所以，即可證明結(jié)論．

(Ⅰ)當時，，函數(shù)的定義域為，

所以，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，

又，

顯然

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.

(Ⅱ)因為

所以，因為函數(shù)有兩個不同的極值點，

所以有兩個不同的零點.

因此，即 有兩個不同的實數(shù)根,

設(shè)，則,

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當，，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以函數(shù)的最大值為 。

所以當直線與函數(shù)圖像有兩個不同的交點時，，且

要證，只要證，

易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以只需證,而，所以

即證，

記，則恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時

所以，因此.