Question

5．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+cos²xcos φ-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+φ）（0＜φ＜π），其圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求φ的值；
（2）求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（3）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換，化簡函數f（x）的解析式，再根據f（x）過定點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），求得φ的值．
（2）利用余弦函數的單調性，求得函數f（x）的單調增區(qū)間．
（3）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用余弦函數的定義域和值域求得函數g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+cos²xcos φ-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+φ）
=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+$\frac{1+cos2x}{2}•cosφ$-$\frac{1}{2}$cosφ=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+$\frac{1}{2}$cos2xcos φ
=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ） （0＜φ＜π），
又因為函數f（x）的圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-φ），
即cos（$\frac{π}{3}$-φ）=1，∴φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數f（x）的單調增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（{k∈Z}）$．
（3）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，
得到函數y=g（x）=$\frac{1}{2}$cos（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
在[0，$\frac{π}{4}$]上，4x∈[0，π]，因此$4x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，故$-\frac{1}{2}≤cos（{2x-\frac{π}{3}}）≤1$，
所以g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值分別為1和-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數的單調性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．