Question

【題目】已知數(shù)列滿足：對于任意且時，，．

（1）若，求證：為等比數(shù)列；

（2）若．

① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

② 是否存在，使得為數(shù)列中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①，②.

【解析】試題分析：

(1)由等比數(shù)列的定義可證得為常數(shù) ，則為等比數(shù)列；

(2)由題意累加可得

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，得到關(guān)于k的不等式組，求解不等式組可得存在滿足題意.

試題解析：

（1）當(dāng)時，且

∴為常數(shù)

∴為等比數(shù)列

（2）①當(dāng)時，

∴

…………

∴

∵ ∴

又滿足上式，所以．

② 假設(shè)存在滿足條件的，不妨設(shè)，

∴ （*）

∴

∴ 即

由（1）得且 ∴ ∴

若，代入（*），解得：（舍）

∴即 ∴

∴ ∴ ∴

∵ ∴可取

代入（*）檢驗(yàn)，解得：

∴存在滿足題意．