直線l:y=k(x-1)過已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
經(jīng)過點(0,
3
),離心率為
1
2
,經(jīng)過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點,點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點M,且
MA
AF
,
MB
BF
,當(dāng)直線l的傾斜角變化時,探求λ+μ的值是否為定值?若是,求出λ+μ的值,否則,說明理由;
(Ⅲ)連接AE、BD,試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時,直線AE與BD是否相交于定點?若是,請求出定點的坐標(biāo),并給予證明;否則,說明理由.
精英家教網(wǎng)
(Ⅰ)由題設(shè)知b=
3
,e=
c
a
=
1
2
,因為a2=b2+c2a2=4,c2=1,∴橢圓C的方程
x2
4
+
y2
3
=1
(3分)
(Ⅱ)易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l方程y=k(x-1),且l與y軸交于M(0,-k),設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=
8k2
3+4k2
,x1x2=
4k2-12
3+4k2
(6分)
又由
MA
AF
,
∴(x1,y1)=λ(1-x1,-y1),
λ=
x1
1-x1
,同理∴μ=
x2
1-x2
(8分)
λ+μ=
x1
1-x1
+
x2
1-x2
=
x1+x2-2x1x2
1-(x1+x2)+x1x2
=-
8
3

所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時,λ+μ的值為定值-
8
3
;(10分)
(Ⅲ)當(dāng)直線l斜率不存在時,直線l⊥X軸,則ABED為矩形,由對稱性知,AE與BD相交FK的中點N(
5
2
,0),

猜想,當(dāng)直線l的傾斜角變化時,AE與BD相交于定點N(
5
2
,0)
(11分)
證明:由(Ⅱ)知A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(4,y1),E(4,y2
當(dāng)直線l的傾斜角變化時,首先證直線AE過定點N(
5
2
,0),
lAE:y-y2=
y2-y1
4-x1
•(x-4)

當(dāng)x=
5
2
時,y=y2+
y2-y1
4-x1
•(-
3
2
)=
2(4-x1)•y2-3(y2-y1)
2(4-x1)
=
2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)
2(4-x1)
=
2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)
2(4-x1)
=
-8k-2kx2x1+5k(x2+x1)
2(4-x1)
=0
∴點N(
5
2
,0)
在直線lAE上,同理可證,點N(
5
2
,0)
也在直線lBD上;∴當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點(
5
2
,0)
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知直角三角形PAB的直角頂點為B,點P的坐標(biāo)為(3,0),點B在y軸上,點A在x軸的負半軸上,在BA的延長線上取一點C,使
BC
=3
BA

(1)當(dāng)B在y軸上移動時,求動點C的軌跡方程;
(2)若直線l:y=k(x-1)與點C的軌跡交于M、N兩點,設(shè)D(-1,0),當(dāng)∠MDN為銳角時,求的取值范圍.

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直線l:y=k(x-2)+2與圓x2+y2-2x-2y=0有兩個不同的公共點,則k的取值范圍是( 。

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(2008•成都三模)已知O為坐標(biāo)原點,點E、F的坐標(biāo)分別為(-
2
,0)、(
2
,0),點A、N滿足
AE
=2
3
,
ON
=
1
2
(
OA
+
OF
)
,過點N且垂直于AF的直線交線段AE于點M,設(shè)點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)若軌跡C上存在兩點P和Q關(guān)于直線l:y=k(x+1)(k≠0)對稱,求k的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,設(shè)直線l與軌跡C交于不同的兩點R、S,對點B(1,0)和向量a=(-
3
,3k),求
BR
BS
-|a|2
取最大值時直線l的方程.

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已知圓C:(x+1)2+(y-2)2=4
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已知拋物線C:y2=8x,O為坐標(biāo)原點,動直線l:y=k(x+2)與拋物線C交于不同兩點A,B
(1)求證:
OA
OB
為常數(shù);
(2)求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點M的軌跡方程.

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