【題目】如圖1,在等腰梯形中,,中點(diǎn), 點(diǎn)分別為的中點(diǎn), 沿折起到 的位置,使得平面平面(如圖 ).

(1)求證:;

(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(3)側(cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)(3)

【解析】

試題分析:(1)要證,只需證明平面即可;(2)以為原點(diǎn), 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,根據(jù)法向量與平面的兩個(gè)向量的數(shù)量積為零,解得,進(jìn)而可求解直線與平面所成角的正弦值;(3)假設(shè)在側(cè)棱上存在點(diǎn),使得平面,設(shè),由四邊形為菱形,且,結(jié)合(1)可知,平面,得到為平面的一個(gè)法向量.據(jù)此可求解的值.

試題解析:(1)如圖1,在等腰梯形中, 中點(diǎn), 所以為等邊三角形.如圖2, 因?yàn)?/span>的中點(diǎn),

所以又因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面平面,

所以平面,所以.

(2)連結(jié),由已知得,又的中點(diǎn),所以,

由(1)知平面,所以兩兩垂直,

為原點(diǎn), 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

因?yàn)?/span>,易知,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,得,即,取,得,

設(shè)直線與平面所成角為,則,

所以直線與平面所成角的正弦值為.

(3)假設(shè)在側(cè)棱上存在點(diǎn),使得平面,設(shè),

因?yàn)?/span>,

所以.

易證四邊形為菱形,且,

又由(1)可知,平面為平面的一個(gè)法向量.

,得,

所以側(cè)棱上存在點(diǎn),使得平面,且.

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時(shí)間

第4天

第32天

第60天

第90天

價(jià)格(千元)

23

30

22

7

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