【題目】如圖,是以BC為底邊的等腰三角形,DA,EB都垂直于平面ABC,且線段DA的長度大于線段EB的長度,M是BC的中點,N是ED的中點.
求證:(1)平面EBC;
(2)平面DAC.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)由等腰三角形的性質(zhì)推出,線面垂直的性質(zhì)推出,從而證明平面EBC;(2)證法一:連結(jié)BN并延長,交AD的延長線于I,連結(jié)IC,證明;證法二:在平面ABED中,分別過E,N作,分別交AD于P,Q,取AC的中點O,連結(jié)MO,OQ,證明;證法三:取AB的中點H,連結(jié)MH、NH,證明平面平面DAC,根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行.
(1)因為是以BC為底邊的等腰三角形,M是BC的中點,
所以.
因為平面ABC,平面ABC,
所以.
又平面EBC,,
所以平面EBC.
(2)證法一:如圖,
連結(jié)BN并延長,交AD的延長線于I,連結(jié)IC.
因為平面ABC,平面ABC,
所以,
所以,
又N為ED的中點,所以,
即N為BI的中點.
又M是BC的中點,
所以在中,.
又平面DAC,平面DAC,
所以平面DAC.
證法二:如圖,
因為平面ABC,平面ABC,
所以,
所以A,B,E,D四點共面.
在平面ABED中,分別過E,N作,分別交AD于P,Q,
取AC的中點O,連結(jié)MO,OQ,
因為,
所以四邊形ABEP為平行四邊形,
所以,
因為,所以,
又N是ED的中點,所以,
所以,
因為M,O分別為BC,CA的中點,
所以在中,
所以,
所以四邊形MOQN為平行四邊形,
所以.
又平面平面DAC,
所以平面DAC.
法三:如圖,
取AB的中點H,連結(jié)MH、NH.
在中,因為M,H分別為BC,BA的中點,
所以.
又平面DAC,平面DAC,
所以平面DAC.
因為平面ABC,平面ABC,
所以,又,
所以四邊形ADEB為梯形.
又N,H分別為ED,BA的中點,
所以.
又平面DAC,平面DAC,
所以平面DAC.
因為平面NHM,,
所以平面平面DAC,
又平面NHM,
所以平面DAC.
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【題目】設(shè)關(guān)于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β(α<β),函數(shù)
(1)證明f(x)在區(qū)間(α,β)上是增函數(shù);
(2)當(dāng)a為何值時,f(x)在區(qū)間[α,β]上的最大值與最小值之差最。
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【題目】設(shè)f(x)是定義在R 且周期為1的函數(shù),在區(qū)間上, 其中集合D=,則方程f(x)-lgx=0的解的個數(shù)是____________
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在極坐標(biāo)系中,O為極點,點在曲線上,直線l過點且與垂直,垂足為P.
(1)當(dāng)時,求及l的極坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.
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【題目】在極坐標(biāo)系中,已知點M,N的極坐標(biāo)分別為,直線l的方程為.
(1)求以線段MN為直徑的圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)求直線l被(1)中的圓C所截得的弦長.
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【題目】如圖,已知梯形中,,,,四邊形為矩形,,平面平面.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及直線的斜率;
(2)直線與圓C交于M,N兩點,中點為Q,求Q點軌跡的直角坐標(biāo)方程.
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【題目】關(guān)于函數(shù),有下列四個命題:①的值域是;②是奇函數(shù);③在上單調(diào)遞增;④方程總有四個不同的解;其中正確的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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