【題目】甲、乙、丙、丁四位同學中僅有一人申請了北京大學的自主招生考試，當他們被問到誰申請了北京大學的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學的自主招生考試的同學是______．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，且
）.
（Ⅰ）求函數
的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求函數
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的單調增區(qū)間為
，單調減區(qū)間為
.（Ⅱ）當
時， 
；當
時， 
.
【解析】【試題分析】(I)利用
的二階導數來研究求得函數
的單調區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，由此可知
.利用導數和對
分類討論求得函數在
不同取值時的最大值.
【試題解析】
（Ⅰ）
，
設
，則
.
∵
， 
，∴
在
上單調遞增，
從而得
在
上單調遞增，又∵
，
∴當
時， 
，當
時， 
，
因此， 
的單調增區(qū)間為
，單調減區(qū)間為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
設
，
則
.
∵當
時， 
，∴
在
上單調遞增.
又∵
，∴當
時， 
；當
時， 
.
①當
時， 
，即
，這時， 
；
②當
時， 
，即
，這時， 
.
綜上， 
在
上的最大值為：當
時， 
；
當
時， 
.
[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與
軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；
（ Ⅱ ） 設直線 與軸和
軸的交點分別為
，
為圓上的任意一點，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
同一周期中最高點的坐標為
，最低點的坐標為
.
（1）求
、
、
、
的值；
（2）利用五點法作出函數在一個周期上的簡圖.（利用鉛筆直尺作圖,橫縱坐標單位長度符合比例）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求
的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求在區(qū)間
上的最小值.
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
.
【解析】（Ⅰ）
.
令
，得
.
與
的情況如上：
所以，的單調遞減區(qū)間是
，單調遞增區(qū)間是
.
（Ⅱ）當
，即
時，函數在上單調遞增，
所以在區(qū)間上的最小值為
.
當
，即
時，
由（Ⅰ）知在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以在區(qū)間上的最小值為
.
當
，即
時，函數在上單調遞減，
所以在區(qū)間上的最小值為
.
綜上，當時，的最小值為
；
當時，的最小值為
；
當時，的最小值為
.
【題型】解答題
【結束】
19
【題目】已知拋物線
的頂點在原點,焦點在坐標軸上，點
為拋物線
上一點.
（1）求
的方程；
（2）若點
在
上，過
作
的兩弦
與
，若
，求證: 直線
過定點.
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