【題目】已知在直三棱柱中，，，，，，點(diǎn)在線段上.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)邊角關(guān)系得到，進(jìn)而得到，，，∴，又因?yàn)槭侵比庵�，�?/span>，進(jìn)而得到線線垂直；（2）建立坐標(biāo)系，求平面的法向量，平面的法向量，根據(jù)向量夾角的求法得到余弦值.

解析：

（Ⅰ）不妨設(shè)，則，，，.

在和中，，，

∴，∴，

∴ ，∴，即；

∵，，∴，

∵為直三棱柱，∴平面，∴；

∴平面，∵點(diǎn)在線段上，∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，，，，，，∴，，，.

設(shè)平面的法向量，則，

即，取，則，，

則平面的一個(gè)法向量；

設(shè)平面的法向量，則，即，

取，則，，則平面的一個(gè)法向量；

∴ ，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

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【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問(wèn)到誰(shuí)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說(shuō)：“丙或丁申請(qǐng)了”；乙說(shuō)：“丙申請(qǐng)了”；丙說(shuō)：“甲和丁都沒(méi)有申請(qǐng)”；丁說(shuō)：“乙申請(qǐng)了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說(shuō)的是對(duì)的，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．

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【題目】已知函數(shù)，其中；

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值，

（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，若關(guān)于的不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，求的值.

（Ⅲ）令，若關(guān)于的方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】某市為了引導(dǎo)居民合理用水，居民生活用水實(shí)行二級(jí)階梯式水價(jià)計(jì)量辦法，具體如下：第一階梯，每戶居民月用水量不超過(guò)12噸，價(jià)格為4元/噸；第二階梯，每戶居民月用水量超過(guò)12噸，超過(guò)部分的價(jià)格為8元/噸.為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過(guò)抽樣獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照， ，…， 分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.

(圖1) (圖2)

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中字母的值，并求該組的頻率；

（Ⅱ）通過(guò)頻率分布直方圖，估計(jì)該市居民每月的用水量的中位數(shù)的值（保留兩位小數(shù)）；

（Ⅲ）如圖2是該市居民張某2016年1～6月份的月用水費(fèi)（元）與月份的散點(diǎn)圖，其擬合的線性回歸方程是. 若張某2016年1～7月份水費(fèi)總支出為312元，試估計(jì)張某7月份的用水噸數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的直角頂點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，為斜邊的中點(diǎn)，且平行于軸.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.以為直徑的圓交軸于、，記此圓的圓心為，，求的最大值.

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【題目】已知橢圓： 的離心率為，且橢圓過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)做兩條相互垂直的直線、分別與橢圓交于、、、四點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若， ，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求證：.

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