Question

已知常數(shù)k＜0，函數(shù)f（x）=

kx2+2kx，-3≤x＜0 -x2+2x，0≤x≤3

（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）討論函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性；
（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值．

Answer 1

分析：（1）分別將-1與2.5代入f（x）的解析式即可求得其對(duì)應(yīng)值；
（2）利用二次函數(shù)的開(kāi)口及對(duì)稱軸，可判斷函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性；
（3）函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性可知，f（x）在x=-3或x=3處取得最小值f（-3）=3k或f（3）=-3，而在x=-1或x=1處取得最大值f（-1）=-k或f（1）=1，對(duì)k分類討論即可．

解答：解：（1）f（-1）=-k，f（2.5）=-2.5²+2×2.5=-

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（2）∵k＜0，當(dāng)-3≤x＜0時(shí)，其開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-1，
∴f（x）在[-3，-1]上為增函數(shù)，在[-1，0）上為減函數(shù)；
當(dāng)0≤x≤3時(shí)，同理可知f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，[1，3]上為減函數(shù)；
∴f（x）在[-3，-1]，[0，1]上為增函數(shù)，在[-1，0），[1，3]上為減函數(shù)；
（3）由函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性可知，f（x）在x=-3或x=3處取得最小值f（-3）=3k或f（3）=-3，而在x=-1或x=1處取得最大值f（-1）=-k或f（1）=1；
故有
①k＜-1時(shí)，
f（x）在x=-3處取得最小值f（-3）=3k，在x=-1處取得最大值f（-1）=-k；
②k=-1時(shí)，
f（x）在x=-3或x=3處取得最小值f（-3）=f（3）=-3，在 x=-1或x=1處取得最大值f（-1）=f（1）=1；
③-1＜k＜0時(shí)，
f（x）在x=3處取得最小值f（3）=-3，在x=1處取得最大值f（1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，突出分類討論思想在最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．