【題目】設(shè)函數(shù).

（1）已知函數(shù),求的極值；

（2）已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）化簡，利用導(dǎo)數(shù)作為工具可求得其單調(diào)區(qū)間和極值；（2）化簡，求導(dǎo)后對進(jìn)行分類討論，利用單調(diào)區(qū)間來求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）由已知條件得, ,且函數(shù)定義域?yàn)?/span>,所以,令,得或,

隨的變化如下表:

當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值;當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值.

（2）由條件, 得,且定義域?yàn)?/span>,,當(dāng)時(shí), 令有或.

①當(dāng)時(shí), 函數(shù) 在上單調(diào)遞增, 顯然符合題意.

②當(dāng), 即時(shí), 函數(shù)在和上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減. 此時(shí)由題意, 知只需,解得,又,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

③當(dāng), 即時(shí), 函數(shù)在和上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 要存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí), 函數(shù)的最大值為,則,代入化簡得. 令,因恒成立, 故恒有時(shí), 式恒成立; 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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