如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AE=1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為。
（1）在線段DC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥面DBC，若存在，求線段DF的長(zhǎng)度，若不存在，說明理由；（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值。

解：（1）取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)CG，則CG⊥AB，
又DB⊥面ABC，可得DB⊥CG，所以CG⊥面ABDE，
所以，，CG=，
故CD=，，
取CD的中點(diǎn)為F，BC的中點(diǎn)為H，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110603/201106031311402951022.gif" border=0>，，所以AEFH為平行四邊形，
得EF∥AH，
平面BCD，
∴EF⊥面DBC，
所以，存在點(diǎn)F，當(dāng)F為CD的中點(diǎn)，DF=時(shí)，使得EF⊥面DBC。
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、
，
從而，，，
設(shè)為平面BCE的法向量，
則可以取，
設(shè)為平面CDE的法向量，
則取，
因此，，
故二面角D-EC-B的余弦值為。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1
∥
.
BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1
∥
.
1
2
BC．
（1）求證：A1B1⊥平面AA1C；
（2）求證：AB1∥平面A1C1C；
（3）求二面角C1-A1C-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（Ⅰ）求證：AB1∥平面 A1C1C；
（Ⅱ）求BC與平面A1C1C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•青島二模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求證：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求證：AB1∥面A1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•合肥一模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，AA1∥=BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1∥=
1
2
BC．
（1）求證：A1B1⊥平面AA1C；
（2）若D是BC的中點(diǎn)，求證：B1D∥平面A1C1C；
（3）若BC=2，求幾何體ABC-A1B1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鄭州二模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（I）求證：A1B1⊥平面AA1C； 
（II）求證：AB1∥平面 A1C1C；
（II）求BC與平面A1C1C所成角的正弦值．

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