如圖所示，三棱柱ABC－中，四邊形BC為菱形，∠BC＝60°，△ABC為等邊三角形，面ABC⊥面BC，E、F分別為棱AB、C的中點(diǎn)；

(Ⅰ)求證：EF∥面；

(Ⅱ)求二面角C－A－B的大�。�

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明(方法一)取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image91.gif" width=34 height=21>分別為中點(diǎn)，所以　　3分

　　所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image98.gif" width=212 HEIGHT=21>，所以面　　6分

　　(方法二)取中點(diǎn)，連接，

　　由題可得，又因?yàn)槊?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image105.gif" width=52 height=18>面，

　　所以面，又因?yàn)榱庑?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image106.gif" width=56 height=18>中，所以．

　　可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系　　2分

　　不妨設(shè)，可得，，，

　　所以所以　　4分

　　設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則，所以，又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image126.gif" width=42 height=18>面＇，所以面　　7分

　　(Ⅱ)(方法一)

　　過點(diǎn)作的垂線交于，連接．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image133.gif" width=138 height=21>，

　　所以，所以面，

　　所以為二面角的平面角　　8分

　　因?yàn)槊?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image105.gif" width=52 height=18>面，所以點(diǎn)在面上的射影落在上，所以，所以，不妨設(shè)，所以，同理可得　　10分

　　所以，所以二面角的大小為　　12分

　　(方法二)由(Ⅰ)方法二可得，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則　　8分

　　又，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則　　10分

　　所以，因?yàn)槎娼?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2173/0019/aef0b54cc62d72f9dfbcbaed63837e1a/C/Image138.gif" width=73 height=18>為銳角，所以二面角的大小為　　12分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在邊長為12的正方形ADD1A1中，點(diǎn)B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1D1、AD1于點(diǎn)B1、P，作CC1∥AA1，分別交A1D1、AD1于點(diǎn)C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得DD1與AA1重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）求證：AB⊥平面BCC1B1；
（2）求四棱錐A-BCQP的體積；
（3）求二面角A-PQ-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮北一模）如圖所示，三棱柱ABC-A1B1Cl中，AB=AC=AA1=2，面ABC1⊥面AAlClC，∠AAlCl=∠BAC1=600，
AC1與A1C相交于0．
（1）求證．BO上面AAlClC；
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（3）求二面角A1-B1C1-A的余弦值．

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如圖所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為,若經(jīng)過對角線AB1且與對角線BC1平行的平面交上底面一邊A1C1于點(diǎn)D.

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A．45°                   B．60°

C．90°                   D．120°

 

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