Question

【題目】某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．

（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；

（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．

Answer 1

【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）

（2）見解析

【解析】

試題（1）先由圓柱的側(cè)面積及底面積計(jì)算公式計(jì)算出側(cè)面積及底面積，進(jìn)而得出總造價(jià)，依條件得等式，從中算出，進(jìn)而可計(jì)算，再由可得；（2）通過(guò)求導(dǎo)，求出函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出取得最大值時(shí)的值.

（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元

∴蓄水池的總建造成本為元

所以即

∴

∴

又由可得

故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>6分

（2）由（1）中，

可得（）

令，則

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)

當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)該蓄水池的體積最大 12分.