Question

19．設函數(shù)f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求f（x）的最小正周期及其圖象的對稱中心；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
 （3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和輔助角公式得到f（x）=$sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，易求該函數(shù)的最小正周期及其圖象的對稱中心；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)作答；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)圖象和函數(shù)的定義域解答．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\sqrt{3}•\frac{1+cos2x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$
=$sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，
所以f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$．
令$2x-\frac{π}{3}=kπ（{k∈Z}）$，得對稱中心為$（{\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0}）（{k∈Z}）$；
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，
解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}（{k∈Z}）$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]（{k∈Z}）$；
（3）∵$0≤x≤\frac{π}{2}∴-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，
∴函數(shù)的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．