Question

10．已知集合A={x|x²-8x+7＜0}，B={x|x²-2x-a²-2a＜0}
（1）當(dāng)a=4時，求A∩B；
（2）若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A，集合B，根據(jù)集合的基本運算當(dāng)a=4時，即可求A∩B；
（2）根據(jù)A⊆B，建立條件關(guān)系，對a進行討論即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）集合A={x|x²-8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，
當(dāng)a=4時，B={x|x²-2x-24＜0}={x|-4＜x＜6}，
∴A∩B=（1，6）
（2）B={x|x²-2x-a²-2a＜0}={x|（x+a）（x-a-2）＜0}，
∵A⊆B，
①當(dāng)a=-1時，B=∅，∴A⊆B不成立；
②當(dāng)a+2＞-a，即a＞-1時，B=（-a，a+2），
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}-a≤1\\ a+2≥7\end{array}\right.$，解得a≥5；
③當(dāng)a+2＜-a，即a＜-1時，B=（a+2，-a），
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}a+2≤1\\-a≥7\end{array}\right.$，解得a≤-7；
綜上，當(dāng)A⊆B，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-7]∪[5，+∞）．
第（2）小題，解法二：
∵集合A={x|x²-8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，
∵A⊆B，即f（x）=x²-2x-a²-2a＜0在（1，7）上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（7）≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{1-2-{a}^{2}-2a≤0}\\{49-14-{a}^{2}-2a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥5或a≤-7．
故得，當(dāng)A⊆B，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-7]∪[5，+∞）．

點評 本題考查了交集及其運算，考查了不等式的解法以及分類討論思想，是中檔題．